FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Definisi
Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil).
f
A
B
Gambar 2.1 Fungsi
Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain.
Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.
Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3 – 4, maka
Fungsi dan Limit Fungsi 12
f(2) = 23 – 4 = 4
f(–1) = (–1)3 – 4 = –5
f(a) = a3 – 4
f(a + h) = (a + h)3 – 4 = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 – 4
Contoh 1
Untuk f(x) = x2 – 2x, carilah dan sederhanakan:
a.
f(4)
b.
f(4 + h)
c.
f(4 + h) – f(4)
d. hfhf)4()4(−+ dengan h ≠ 0.
Penyelesaian:
Contoh 2
Untuk f(x) = x2 – 2x dengan daerah asal {–1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 13
Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real.
Contoh 3
a.
Daerah asal f(x) = 31−x adalah {x ∈ R⏐ x ≠ 3}.
b.
Daerah asal g(t) = 29t− adalah {t ∈ R⏐ 9 – t2 ≥ 0}.
Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).
Contoh 4
Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2 – 4
(b) g(x) = x1
(c) h(x) = ⏐x⏐
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 14
2.2 Operasi pada Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f – g)(x) = f (x) – g(x)
(f g)(x) = f (x) g(x)
(f / g)(x) = )()(xgxf asalkan g(x) ≠ 0
Contoh 5
Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan f + g, f – g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 15
Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.
Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka komposisi g o f memenuhi
(g o f)(x) = g (f(x))
Contoh 6
Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
(g o f)(x) = g (f(x))
= g (x2 – 2x)
= x2 – 2x – 1
(f o g)(x) = f (g(x))
= f (x – 1)
= (x – 1)2 – 2(x – 1)
= x2 – 2x + 1 – 2x + 2
= x2 – 4x + 3
Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan.
2.3 Pengertian Limit
Perkataan limit berarti mendekati, seperti “Saya sudah menahan sampai mendekati batas kesabaran saya,” atau “Janganlah kamu mendekati zina.”
Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.
f(x) = 113−−xx
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 00. Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.
Fungsi dan Limit Fungsi 16
x
y = f(x)
1,25
3,813
1,1
3,310
1,01
3,030
1,001
3,003
↓
↓
1
?
↑
↑
0,999
2,997
0,99
2,970
0,9
2,710
0,75
2,313
Gambar 2.2
Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan 11lim31−−→xxx = 3
dan ini dibaca “limit (x3 – 1)/ (x – 1) untuk x mendekati 1 adalah 3.”
Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1, bukannya di 1.
Contoh 1
Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan xxxsinlim0→
Fungsi dan Limit Fungsi 17
Penyelesaian:
x
y = xxsin
1
0,84147
0,5
0,95885
0,1
0,99833
0,01
0,99998
↓
↓
0
?
↑
↑
–0,01
0,99998
–0,1
0,99833
–0,5
0,95885
–1
0,84147
Jadi, xxxsinlim = 1.
Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adalah sembarang bilangan positif, maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk: Lxf−)( < ε
dan ini ekuivalen dengan
L – ε < f(x) < L + ε
yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L – ε, L + ε) seperti terlihat pada gambar 2.3 (a).
Selanjutnya misalkan δ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c sehingga jarak x ke c kurang dari δ, tetapi x ≠ c maka
0 < cx− < δ
dan ini ekuivalen dengan
c – δ < x < c + δ
yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c – δ, c + δ) dan dapat digambarkan seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).
Fungsi dan Limit Fungsi 18
f(x)
L + ε
L
L – ε
x ε<−Lxf)(
(a)
f(x)
c – δ c c + δ x δ<−<cx0
(b)
Gambar 2.3
Gambar-gambar dalam Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 diharapkan dapat memudahkan kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut.
Definisi
Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis
Lxfcx=→)(lim
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx− < δ berlaku Lxf−)( < ε.
Fungsi dan Limit Fungsi 19
Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga
apabila 0 < cx− < δ berlaku Lxf−)( < ε
Gambar 2.4
Contoh 2
Buktikan bahwa 5)73(lim4=−→xx
Analisis pendahuluan:
Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 4−x < δ berlaku 5)73(−−x < ε.
Perhatikan 5)73(−−x < ε ⇔ 123−x < ε
⇔ )4(3−x < ε
⇔ 43−x < ε
⇔ 4−x < 3ε
Fungsi dan Limit Fungsi 20
Oleh karena itu dapat dipilih δ = 3ε. Tentu saja dapat dipilih bilangan δ yang kurang dari 3ε.
Bukti:
Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pilih δ > 0, yaitu δ = 3ε. Apabila 0 < 4−x < δ maka berlaku 5)73(−−x = 123−x
= )4(3−x
= 43−x
= 34−x
< 3δ = 3.3ε = ε.
Jadi, terbukti . 􀀀 5)73(lim4=−→xx
Contoh 3
Buktikan bahwa 52232lim22=−−−→xxxx
Analisis pendahuluan:
Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 2−x < δ berlaku 522322−−−−xxx < ε.
Perhatikan 522322−−−−xxx < ε ⇔ 52)2)(12(−−−+xxx < ε
⇔ 5)12(−+x < ε
⇔ )2(2−x < ε
⇔ 22−x < ε
⇔ 2−x < 2ε
Oleh karena itu dapat dipilih δ = 2ε atau yang lebih kecil dari 2ε.
Fungsi dan Limit Fungsi 21
Bukti:
Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = 2ε sehingga 0 < 2−x < δ berlaku 522322−−−−xxx = 52)2)(12(−−−+xxx
= 5)12(−+x
= )2(2−x
= 22−x
= 2−x
< δ = 2ε < ε
Berarti terbukti bahwa 52232lim22=−−−→xxxx. 􀀀
Contoh 4
Buktikan bmcbmxcx+=+→)(lim
Analisis Pendahuluan:
Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε.
Perhatikan:
⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε ⇔ ⏐mx – mc⏐ < ε
⇔ ⏐m⏐⏐x – c⏐ < ε
⇔ ⏐x – c⏐ < mε asalkan m ≠ 0
Dapat dipilih δ = mε.
Bukti:
Untuk m = 0, bukti cukup jelas.
Misal m ≠ 0. Untuk setiap ε > 0 dipilih δ = mε. Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐
= ⏐mx – mc⏐
Fungsi dan Limit Fungsi 22
= ⏐m⏐⏐x – c⏐
< ⏐m⏐mε = ε. 􀀀
Fungsi dan Limit Fungsi 23